Question

18．x+y+z+w=100，求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)．

Answer 1

分析 先假設(shè)把104個火柴桿排成一排（可以憑想象）那么在104個火柴之間有103個空，在這103個空里面任意選3個空分別插入一個擋板，即可求出分組的種數(shù)，再令a-1=x，b-1=y，c-1=z，d-1=w則每一組abcd的值對應(yīng)一組xyzw的值，問題得以解決．

解答 解：把104個火柴桿排成一排（可以憑想象）那么在104個火柴之間有103個空，在這103個空里面任意選3個空分別插入一個擋板，這樣3個擋板就把104根火柴分成4堆，不妨把從左到右4堆火柴的個數(shù)分別記為a，b，c，d，那么每一種擋板的放置方法對應(yīng)一組abcd的數(shù)值，且a+b+c+d=104，而擋板的放置方法有C₁₀₃³=176851 種．
所以方程a+b+c+d=104有176851組正整數(shù)解．而此題求的是自然數(shù)解，
若a+b+c+d=104則（a-1）+（b-1）+（c-1）+（d-1）=100，
令a-1=x，b-1=y，c-1=z，d-1=w則每一組abcd的值對應(yīng)一組xyzw的值，
且x+y+z+w=100，
因此x+y+z+w=100這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)是176851．

點評 本題考查了利用隔板法求排列組合的問題，屬于中檔題．