Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，a₁=1，

an+1

an+1+1

=

an+1

2an

，b_n=a_n²+a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：

1

(1+a1)a2

+

1

(1+a2)a3

+…+

1

(1+an)an+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}的關(guān)系得出數(shù)列{b_n}相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，常常要轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列問題，要注意特殊數(shù)列的相關(guān)公式的運(yùn)用；
（2）利用（1）中求得的b_n的通項(xiàng)公式，通過方程思想解出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)數(shù)列{a_n}的單調(diào)性尋找所證和式中的每一項(xiàng)與特殊數(shù)列的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，通過放縮轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和從而達(dá)到證明該不等式的目的．

解答：解：（1）由條件得：a_n+1²+a_n+1=2（a_n²+a_n）∴b_n+1=2b_n．
∵b₁=a₁²+a₁=2∴

bn+1

bn

=2∴{b_n}為等比數(shù)列∴b_n=2ⁿ．
（2）由a_n²+a_n=2ⁿ得an=

-1+ 1+2n+2

2

又a_n＞0∴an=

1+2n+2 -1

2

．
（3）證明：∵an+1-an=

1

2

(

1+2n+3

-

1+2n+2

)
=

1

2

(2n+3-2n+2)/(

1+2n+3

+

1+2n+2

)＞0
∴{a_n}為遞增數(shù)列．
∴a_n²+a_n=（1+a_n）a_n＜（1+a_n）a_n+1
從而

1

(1+an)an+1

＜

1

2n

∴

1

(1+a1)a2

+

1

(1+a2)a3

+…+

1

(1+an)an+1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列通項(xiàng)公式的聯(lián)系，考查學(xué)生通過遞推關(guān)系證明數(shù)列為特殊數(shù)列的方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，方程思想、數(shù)列單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，放縮法證明不等式等方法和技巧．