Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+a

ex

，其a中為常數(shù)，a≤2．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的極大值為2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求出f（0），求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（0），則由直線方程的點斜式得到曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）對原函數(shù)求導，由導函數(shù)等于0得到導函數(shù)的零點，當a=2時，導函數(shù)恒小于等于0，原函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，函數(shù)無極值；當a＜2時，由函數(shù)零點的定義域分段，判斷導函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極大值，再由導數(shù)求得極大值的范圍，則問題得到判斷．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

x2+x+1

ex

，f（0）=

1

e0

=1．
∵f′(x)=

(2x+1)ex-ex(x2+x+1)

e2x

=

-x2+x

ex

=

-x(x-1)

ex

，
∴f′（0）=0．
則曲線在點（0，f（0））處的切線方程為y=1；
（Ⅱ）由f（x）=

x2+ax+a

ex

，得
f′(x)=

(2x+a)ex-ex(x2+ax+a)

e2x

=

-x[x-(2-a)]

ex

．
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2-a，
∵a≤2，
∴2-a≥0．
當a=2時，f′(x)=

-x2

ex

≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上遞減，無極值；
當a＜2時，2-a＞0，f（x）在（-∞，2），（2-a，+∞）上遞減，在（0，2-a）上遞增；
∴f（2-a）=（4-a）e^a-2為f（x）的極大值，
令u（a）=（4-a）e^a-2（a＜2），則u′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴u（a）在（-∞，2）上遞增，
∴u（a）＜u（2）=2，
∴不存在實數(shù)a，使f（x）的極大值為2．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，解答此題（Ⅱ）的關鍵是求解函數(shù)極值的范圍，是中高檔題．