Question

（本題滿分12分） 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；
（2）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)且時(shí)，試比較的大�。�

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上有一個極值點(diǎn)（2）（3）當(dāng)0<x<e時(shí),當(dāng)e<x<e²時(shí)

解析試題分析：（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，得，得，
∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．
∴當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上有一個極值點(diǎn)．-----3分
（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，∴，
∴，---------5分
令，可得在上遞減，在上遞增，
∴，即．------- 7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調(diào)減
∴0<x<y<e²時(shí)， 即
當(dāng)0<x<e時(shí)，1-lnx>0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴
當(dāng)e<x<e²時(shí)，1-lnx<0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴-----12分
考點(diǎn)：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值最值單調(diào)區(qū)間
點(diǎn)評：不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。