Question

（2013•青浦區(qū)一模）如圖已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱PA的長為8，且垂直于底面，點(diǎn)M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)．求
（1）異面直線PM與CN所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）解法 一：連接AM，∵底面ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，可得AN

∥

.

CM，于是四邊形AMCN是平行四邊形，可得CN∥AM，因此∠PMA（為銳角）是異面直線PM與CN所成角，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可．
解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線的方向向量的夾角公式即可得出異面直線所成的角；
（2）由PA垂直于底面，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用線面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面積計(jì)算公式分別計(jì)算即可．

解答：解：（1）解法 一：連接AM，∵底面ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，
∴AN

∥

.

CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∴CN∥AM，
∴∠PMA（為銳角）是異面直線PM與CN所成角．   
因?yàn)镻A垂直于底面，所以PA⊥AM，
點(diǎn)M分別是DC的中點(diǎn)，DC=6，∴AM=3

5

．
在Rt△PAM中，PA=8，AM=3

5

，
∴tan∠PMA=

8

3 5

=

8 5

15

，
∴∠PMA=arctan

8 5

15

，
即異面直線PM與CN所成角的大小為arctan

8 5

15

．
解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），
∴

PM

=(3，6，-8)，

CN

=(-3，-6，0)，
直線PM與CN所成角為θ，向量

PM

與

CN

的夾角為?，
∵cos?=

PM • CN

| PM || CN |

=

-45

109 • 45

=-

3 545

109

，
又cosθ=|cos?|=

3 545

109

，θ=arccos

3 545

109

，
即異面直線PM與CN所成角的大小為arccos

3 545

109

．
（2）因?yàn)镻A垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，
又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PAD，
∵底面四邊形ABCD是邊長為6的正方形，所以S_底=36
又S_側(cè)=S_△PAB+S_△PAD+S_△PBC+S_△PCD=2×(

1

2

PA•AB)+2×(

1

2

PB•BC)=48+60=108．
S_表=108+36=144
所以四棱錐P-ABCD的表面積是144．

點(diǎn)評：本題綜合考查了利用“平移法”和通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的方向向量的夾角求異面直線的夾角、線面垂直的判定與性質(zhì)、四棱錐的表面積等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．