Question

數(shù)列{a_n}滿足．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求證：a₁+a₂+…+a_n=；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}滿足，分別代入，即可求得a₂，a₃；
（Ⅱ）由知  ，從而可得，代入即可得出結(jié)論；
（Ⅲ） 證明等價于證明，
即證 ，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
解答：（Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足．
∴，…（2分）
（Ⅱ）證明：由知  ，．                     （1）
所以    ，
即      ．                              …（5分）
從而  a₁+a₂+…+a_n==．                           …（7分）
（Ⅲ） 證明：等價于
證明，
即    ．                          （2）…（8分）
當(dāng)n=1時，，，
即n=1時，（2）成立．
設(shè)n=k（k≥1）時，（2）成立，即 ．
當(dāng)n=k+1時，由（1）知；         …（11分）
又由（1）及知 均為整數(shù)，
從而由 有 即，
所以  ，
即（2）對n=k+1也成立．
所以（2）對n≥1的正整數(shù)都成立，
即對n≥1的正整數(shù)都成立．     …（13分）
注：不同解法請教師參照評標酌情給分．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列與不等式，考查數(shù)學(xué)歸納法，正確運用數(shù)列遞推式，及數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是解題的關(guān)鍵．