Question

（2006•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大小；
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）過S作SO⊥AC于O，由平面和平面垂直的性質定理，得出SO⊥平面ABCD，繼而側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°得出AO=BO=CO=SO，從而∠ABC=90°，根據梯形定義即可證明．
（2）建立空間坐標系如圖，使Ox⊥AB，Oy⊥BC，設AD=a，利用

SB

，

CD

夾角求解．
（3）求出平面SAB的一個法向量，求出此法向量與

AC

夾角，再求線AC與平面SAB所成的角的大�。�

解答：解：（1）過S作SO⊥AC于O，
∵平面SAC⊥平面ABCD，平面SAC∩平面ABCD=AC，
由平面和平面垂直的性質定理，得SO⊥平面ABCD，
∵側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°
∴△SOA，△SOB，△SOC，△SOD為全等的等腰直角三角形，
∴AO=BO=CO=SO，
∴∠ABC=90°，即有BC⊥AB
又AB=BC=2AD，AD∥BC，
所以四邊形ABCD是直角梯形．
（2）建立空間坐標系如圖，使Ox⊥AB，Oy⊥BC
設AD=a，則A(a，-a，0)，B(a，a，0)，C(-a，a，0)，D(0，-a，0)，S(0，0，

2

a)

∴ SB =(a，a，- 2 a)， CD =(a，-2a，0) ∴cos＜ SB ， CD ＞= a2-2a2 a2+a2+(- 2 a)2 • a2+(-2a)2 = -a2 2a• 5 a =- 5 10

∴直線SB與CD所成角的大小為arccos

5

10

（3）設平面SAB的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

AB

=（0，2a，0），

SB

=（a，a，-

2

a）．
由

n • AB =0 n • SB =0

得

2ay=0 ax+ay- 2 az=0

，
取z=1，則

n

=（

2

，0，1），又

AC

=（-2a，2a，0），
∴cos＜

n

，

AC

＞=

-2 2 a 2+1 • (2a)2+(-2a)2 =- 3 3

∴AC與平面SAB所成的角的大小arcsin

3

3

．

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．