Question

（2012•葫蘆島模擬）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程．
在平面直角坐標系中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=acos? y=bsin?

（a＞b＞0，?為參數(shù)），以Ο為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，已知曲線C₁上的點M（2，

3

）對應的參數(shù)φ=

π

3

；θ=

π

4

；與曲線C₂交于點D（

2

，

π

4

）
（1）求曲線C₁，C₂的方程；
（2）A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+

π

2

）是曲線C₁上的兩點，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

分析：（1）將M（2，

3

）對應的參數(shù)φ=

π

3

，代入曲線C₁的參數(shù)方程，求出a、b的值，可得曲線C₁的方程．把點D的極坐標化為直角坐標代入圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R² ，求得R=1，即可得到曲線C₂的方程．
（2）把A、B兩點的極坐標化為直角坐標，代入曲線C₁的方程可得：

ρ12cos2θ

16

+

ρ12sin2θ

4

=1，

ρ22cos2θ

16

+

ρ22sin2θ

4

=1從而求出

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

解答：解：（1）將M（2，

3

）及對應的參數(shù)φ=

π

3

；θ=

π

4

；
代入

x=acos? y=bsin?

得：

2=acos π 3 3 =bsin π 3

得：

a=4 b=2

∴曲線C₁的方程為：

x=4cos? y=2sin?

（∅為參數(shù)）或

x2

16

+

y2

4

=1．
設(shè)圓C₂的半徑R，則圓C₂的方程為：ρ=2Rcosθ（或（x-R）²+y²=R²），將點D（

2

，

π

4

）
代入得：

2

=2R•

2

2

∴R=1
∴圓C₂的方程為：ρ=2cosθ（或（x-1）²+y²=1）…（5分）
（2）曲線C₁的極坐標方程為：

ρ2cos2θ

16

+

ρ2sin2θ

4

=1
將A（ρ_?，θ），Β（ρ_?，θ+

π

2

）代入得：

ρ12cos2θ

16

+

ρ12sin2θ

4

=1，

ρ22cos2θ

16

+

ρ22sin2θ

4

=1
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=（

cos2θ

16

+

sin2θ

4

）+（

sin2θ

16

+

cos2θ

4

）=

5

16

…（10分）

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．