（1）橢圓C:=1(a＞b＞ 0)與x軸交于兩點A、B，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：·為定值b2-a2.

（2）由（1）類比可得如下命題：雙曲線C:=1(a＞0,b＞0)與x軸交于兩點A、B，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，則·為定值.請寫出這個定值（不要求給出解題過程）.

(1)證明:設點P(x0,y0),x0≠±a.依題意,得A(-a,0),B(a,0).

∴直線PA的方程為y=(x+a).

令x=0,得ym=.

同理得yn=.

∴ymyn=.∵點P(x0,y0)是橢圓C上一點,∴+=1.

∴y02=(a2-x02).∴ymyn==b2.

∵=(a,yn),=(-a,ym),∴·=-a2+ymyn=b2-a2.

(2)-(a2+b2).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，且傾斜角為60°的直線l過點(0，-2
3
)和橢圓C的右焦點F．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），點M，N是橢圓C上不重合的兩點，且
DM
=λ
DN
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•樂山二模）如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線G；x=a2上的射影依次為點D、K、E，若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L交y軸于點M，
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，當M變化時，求λ1+λ2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：
x2
8
+
y2
4
=1相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線y=
1
4
x2的焦點．
（Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•通州區(qū)一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
1
2
，右焦點為F（1，0）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）求經過點A（4，0）且與橢圓C相切的直線方程；
（III）設P為橢圓C上一動點，以PF為直徑的動圓內切于一個定圓E．求定圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若給定橢圓C：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和點N(x0,y0)，則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”，

   (1)若N(x0,y0)在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交)，并說明理由；

   (2)命題：“若點N(x0,y0)在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；

   (3)若N(x0,y0)在橢圓C的內部，過N點任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(異于A、B)，設，，問是否為定值？說明理由.

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同步練習冊答案