Question

（2013•黃岡模擬）若直線x=my-1與圓C：x²+y²+mx+ny+p=O 交于 A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)P的取值范圍為

(-∞，-

3

2

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的性質(zhì)，得直線x=my-1與直線y=x垂直且圓心C，在直線y=x上，由此解出m=n=-1，從而得到直線和圓的方程，再由圓心C到直線的距離小于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可算出實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意，由于直線x=my-1與圓C：x²+y²+mx+ny+p=O交于 A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
則可知直線AB的斜率為-1，故可知m=-1，∴圓心C（-

m

2

，-

n

2

）在直線y=x上，可得m=n=-1．
并且中點(diǎn)坐標(biāo)在y=x上，聯(lián)立方程組

y=x x=my-1

，得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=

1

m-1

=-

1

2

，則y=

1

m-1

=-

1

2

，
則該點(diǎn)(-

1

2

，-

1

2

)在圓內(nèi)部，圓C：x²+y²-x-y+p=0，圓心C(-

1

2

，-

1

2

)，半徑R=

1 2 -p

∵直線x+y+1=0與圓C相交，
∴

| 1 2 + 1 2 +1|

2

＜

1 2 -p

即

2

＜

1 2 -p

，解之得p＜-

3

2

，
則實(shí)數(shù)P的取值范圍為(-∞，-

3

2

)．
故答案為：(-∞，-

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．