Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（Ⅱ）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）海里/小時(shí)（Ⅱ）方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

【解析】

試題分析：（I）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則

=

=，

故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。

（II）設(shè)小艇與輪船在B出相遇，則

，

故，

，，

即，解得，

又時(shí)，，

故時(shí)，t取最小值，且最小值等于，

此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)方案如下：

航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

考點(diǎn)：本小題主要考查解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：正弦定理和余弦定理在解三角形中應(yīng)用十分廣泛，要準(zhǔn)確靈活應(yīng)用，應(yīng)用正弦定理時(shí)要注意解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.