Question

（2009•臨沂一模）已知函數f（x）=

1

3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（Ⅰ）當a=-3時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=-3時f'（x）=x²-2x-3，可得f'（x）的零點為x₁=-1、x₂=3，分別在區(qū)間（-∞，-1）、（-1，3）和（3，+∞）內討論f'（x）的正負，即可得到函數的單調性，從而得到函數f（x）的極值；
（II）根據題意，求導數得f'（x）=x²-2x+a，從而得到a＜1時△＞0，方程f'（x）=0的兩個不相等的實根
x₁、x₂滿足x₁＜x₂，x₁+x₂=2且x₁x₂=a．化簡f'（x₁）=0得到a=-x₁²+2x，從而得到f（x₁）=

1

3

x₁[x₁³+3（a-2）]，同理得f（x₂）=

1

3

x₂[x₂³+3（a-2）]．由此將f（x₁）f（x₂）表示成關于a的式子，結合a²-3a+3＞0解得得a＜0，即得滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=-3時，f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3
∴f'（x）=x²-2x-3．
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
當x＜-1或x＞3時，f'（x）＞0；當-1＜x＜3時，f'（x）＜0；
∴在f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上單調遞增；
在區(qū)間（-1，3）上單調遞減；┉┉┉┉┉（4分）
∴當x=-1時，f（x）取得極大值為f（-1）=

14

3

；當x=3時，f（x）取得極小值為f（3）=-6．┉┉（6分）
（II）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）
①若a≥1，則△≤0可得f'（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調遞增；
此時函數的圖象與軸有且只有一個交點，不合題意．┉┉┉┉┉┉（9分）
②若a＜1，則△＞0，
f'（x）=0有兩個不相等的實根，不妨設為x₁、x₂且x₁＜x₂
則x₁+x₂=2且x₁x₂=a
當x變化時，f'（x）、f（x）的取值情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵x₁²-2x₁+a=0，可得a=-x₁²+2x，
∴f（x₁）=

1

3

x₁³-x₁²+ax₁-a=

1

3

x₁³-x₁²+ax₁+x₁²-2x₁
=

1

3

x₁³+（a-2）x₁=

1

3

x₁[x₁³+3（a-2）]，┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
同理可得f（x₂）=

1

3

x₂[x₂³+3（a-2）]．
∴f（x₁）f（x₂）=

1

9

x₁x₂[x₁³+3（a-2）][x₂³+3（a-2）]
=

4

9

a（a²-3a+3），┉┉┉┉┉┉┉┉（13分）
令f（x₁）f（x₂）＜0，結合a²-3a+3＞0得a＜0
此時f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0）┉┉┉┉┉（14分）

點評：本題給出三次多項式函數，求函數的單調區(qū)間與極值，并討論函數圖象與x軸交點個數的問題．著重考查了利用導數研究函數的單調區(qū)間、三次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．