Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a＞0且a_n=f^-1（a_n+1），
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)；
（2）求證：；
（3）若a=1試比較a_n與2^-n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)反函數(shù)的求法步驟知，先用y來表示x，同時(shí)得到y(tǒng)的取值范圍即可．
（2）利用放縮法得到a_n＞2a_n+1即，將不等式代入中即可得到結(jié)論．
（3）由變形，即，再化簡(jiǎn)得a_n＞2^-n．
解答：解：（1）由得
所以y=f（x）的反函數(shù)為
（2）∵a_n+1=f（a_n）∴a_n=f^-1（a_n+1）即
由a₁=a＞0可得0＜a_n+1＜1
故
當(dāng)n≥2時(shí)，
（3）∵
即∴
∴即a_n＞2^-n．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反函數(shù)的求法，和放縮法在不等式中的應(yīng)用．在運(yùn)用放縮法時(shí)關(guān)鍵要注意不等關(guān)系．