過(guò)點(diǎn)P(1,3)的動(dòng)直線交圓C:x2+y2=4于A、B兩點(diǎn),分別過(guò)A、B作圓C的切線,如果兩切線相交于點(diǎn)Q,那么點(diǎn)Q的軌跡為( )
A.直線的一部分
B.直線
C.圓的一部分
D.射線
【答案】
分析:根據(jù)圓的對(duì)稱性可得Q點(diǎn)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)垂直于AB的直線與A點(diǎn)切線的交點(diǎn).由此設(shè)A(m,n),Q(x,y),根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與直線斜率公式,分別求出直線AQ、CQ方程,兩個(gè)方程消去m、n得關(guān)于x、y的一次方程,即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程,再根據(jù)圖形可得直線與圓C相交而Q不可能在圓上或圓內(nèi),可得Q軌跡是直線的一部分.
解答:解:
設(shè)A(m,n),Q(x,y),根據(jù)圓的對(duì)稱性可得
Q點(diǎn)是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)垂直于AB的直線與A點(diǎn)切線的交點(diǎn)
∵圓x
2+y
2=4的圓心為C(0,0)
∴切線AQ的斜率為k
1=-
=-
,得
得AQ方程為y-n=-
(x-m),化簡(jiǎn)得y=-
x+
…①
又∵直線PA的斜率k
PA=
,
∴直線CQ的斜率k
2=-
=
,
得直線CQ方程為y=
x…②
①②聯(lián)解,消去m、n得x+3y-4=0,即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程
由于直線x+3y-4=0與圓C:x
2+y
2=4相交,所以直線位于圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)除外
故選:A
點(diǎn)評(píng):本題給出定點(diǎn)P與圓C,求過(guò)P的圓的割線構(gòu)成的兩條切線的交點(diǎn)Q的軌跡.著重考查了圓的性質(zhì)、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.