已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(4,).

(1)求此雙曲線的方程；

(2)若點M(3,m)在此雙曲線上，求證：

思路點撥：由題意先判定所求的方程形式是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再由離心率為，從而確定a、b間的關(guān)系，從而將相應(yīng)方程設(shè)出，進(jìn)而由曲線過已知點，從而求得方程.

解：(1)∵離心率e==，∴a=b，設(shè)雙曲線方程為x2-y2=n，∵(4,)在雙曲線上，∴n=42-()2=6.∴雙曲線方程為x2-y2=6.

(2)∵M(jìn)(3,m)在雙曲線上，則32-m2=6，m=±，即點M(3,±)，×=，

∴.

［一通百通］ 涉及求有關(guān)圓錐曲線的方程問題，求解過程中通常應(yīng)當(dāng)注意判斷相應(yīng)曲線的方程形式，否則容易出錯.有關(guān)證明向量或直線垂直問題，通�？梢钥紤]證明對應(yīng)直線的斜率之積是-1或?qū)?yīng)向量之積為零.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為
2
，且過點(4，-
10
)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2-y2=6
x2-y2=6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點為F1（5，0），F(xiàn)2（-5，0），且過點（3，0），
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求雙曲線的離心率及準(zhǔn)線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)A點坐標(biāo)為（0，2），求雙曲線上距點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-
10
)，A點坐標(biāo)為（0，2），則雙曲線上距點A距離最短的點的坐標(biāo)是
(±
7
，1)
(±
7
，1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)一模）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，一條漸近線方程為y=
3
4
x，則該雙曲線的離心率是
5
4
5
4
．

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