Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為s_n，且滿足sn=

sn-1

2sn-1+1

(n≥2)，a1=2．
（1）求證：{

1

sn

}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）由 sn=

sn-1

2sn-1+1

(n≥2)，a1=2，兩邊取倒數(shù)得

1

Sn

=

1

Sn-1

+2，即可證明．
（2）利用（1）即可得出S_n，再利用“當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．

解答：解：（1）由 sn=

sn-1

2sn-1+1

(n≥2)，a1=2，兩邊取倒數(shù)得

1

Sn

=

1

Sn-1

+2，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
∴{

1

sn

}是首項(xiàng)為

1

S1

=

1

a1

=

1

2

，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得：

1

Sn

=

1

2

+(n-1)×2=

4n-3

2

，∴Sn=

2

4n-3

．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

2

4n-3

-

2

4(n-1)-3

=

-8

(4n-3)(4n-7)

．
∴an=

2，n=1 -8 (4n-3)(4n-7) ，n≥2

．

點(diǎn)評：本題考查了“當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”、通過取倒數(shù)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的方法等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．