Question

17．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，且滿足a₂a₄=21，a₁+a₅=10．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和C_n=a_n+1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿc_n（n∈N^*），求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)知d＞0，利用a₁+a₅=2a₃=10可知a₃=5，進(jìn)而利用a₂a₄=21可知d=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）知C_n=a_n+1=2n，通過(guò)令n=1可得c₁=2，利用C_n=2n與C_n-1=2（n-1）作差，進(jìn)而計(jì)算可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)知d＞0，
由a₁+a₅=10，可得2a₃=10，即a₃=5，
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=±2，
∵{a_n}是遞增的等差數(shù)列，
∴d=2，a₁=5-2d=1，
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知C_n=a_n+1=2n，可得c₁=2，C_n-1=2（n-1），
兩式相減可得c_n=2（n∈N^*），
∴b_n=2ⁿ⁺¹，
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列，
所以前n項(xiàng)和S_n=$\frac{4（1-2n）}{1-2}$=2ⁿ⁺²-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．