Question

5．函數(shù)$y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$在同一個周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時y取最大值2，當(dāng)x=$\frac{7π}{12}$時，y取最小值-2．
（1）求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）若x∈[0，2π]，且f（x）=$\sqrt{3}$時，求x的值；
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（1＜a＜2），求在[0，2π]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值可得A，再根據(jù)周期求得ω，再由五點法作圖求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，問題得以解決，
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（1＜a＜2），則在[0，2π]內(nèi)方程f（x）=a有6個根，即可求出答案

解答 解：（1）由函數(shù)的最值可得A=2，再根據(jù)$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$，求得ω=3．
再由五點法作圖可得 3×$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$，故函數(shù)的解析式y(tǒng)=f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）∵x∈[0，2π]，且f（x）=$\sqrt{3}$時，
∴2sin（3x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，
∴3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或3x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{7π}{36}$或x=$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{11π}{36}$，
當(dāng)k=0時，x=$\frac{7π}{36}$或$\frac{11π}{36}$，
當(dāng)k=1時，x=$\frac{31π}{36}$或$\frac{35π}{36}$，
當(dāng)k=2時，x=$\frac{55π}{36}$或$\frac{59π}{36}$，
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（1＜a＜2），
則在[0，2π]內(nèi)方程f（x）=a有6個根，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{2}$，x₃+x₄=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$π，x₅+x₆=$\frac{π}{2}$+$\frac{8}{3}$π，
∴和為$\frac{3π}{2}$+4π=$\frac{11}{2}$π．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題