Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A、F，點(diǎn)B（0，-b），若|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF|}$，則雙曲線的離心率值為$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得可得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=0，即（a，b）•（-c，b）=-ac-b²=0，由此求得離心率$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：∵點(diǎn)B（0，-b），A（a，0），F(xiàn)（-c，0），
又|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}|=|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF|}$，平方可得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=0，
即（a，b）•（-c，b）=-ac-b²=0，即 b²=ac=c²-a²，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．