Question

已知二次方程x²+ax+2=0．
（1）若方程的兩根α、β滿足α＜2＜β，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若兩根都小于-1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=x²+ax+2，則函數(shù)圖象是開口方向朝上的拋物線，若二次方程x²+ax+2=0兩根α、β滿足α＜2＜β，則易得f（2）＜0由此可構(gòu)造一個關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍；
（2）若二次方程x²+ax+2=0兩根都小于-1，則需要滿足三個條件①方程有兩個根，即△≥0；②對稱軸在-1左側(cè)，即-＜-1；③f（-1）＞0，由此可以構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍；
解答：解：（1）令f（x）=x²+ax+2．
∵α＜2＜β，
由方程實根分布，當(dāng)且僅當(dāng)f（2）＜0．
∴6+2a＜0，
∴a＜-3．
（2）易知函數(shù)即f（x）的圖象與x軸的交點在（-1，0）左側(cè)，
當(dāng)且僅當(dāng)．
點評：本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，利用方程與對應(yīng)函數(shù)的關(guān)系，將求方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．