Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，，點(diǎn)M在線段EC上．
（I）當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；
（II）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，驗(yàn)證，即，從而可證BM∥平面ADEF；
（II）利用平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為，確定點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，從而可得S_△DEM=2，AD為三棱錐B-DEM的高，即可求得三棱錐M-BDE的體積．
解答：（I）證明：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．
∴--------（2分）
又是平面ADEF的一個(gè)法向量．
∵，∴
∴BM∥平面ADEF------（4分）
（II）解：設(shè)M（x，y，z），則，
又，設(shè)，則x=0，y=4λ，z=2-2λ，即M（0，4λ，2-2λ）．（6分）
設(shè)是平面BDM的一個(gè)法向量，則
取x₁=1得 即  
又由題設(shè)，是平面ABF的一個(gè)法向量，------（8分）
∴--（10分）
即點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，此時(shí)，S_△DEM=2，AD為三棱錐B-DEM的高，
∴V_M-BDE=----------（12分）
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查三棱錐的體積．考查利用向量知識解決立體幾何問題，屬于中檔題．