Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈N）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；   
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過f（x）是奇函數(shù)得到c=0，再根據(jù)f（1）=2，f（2）＜3，得不等式組，解出即可；
（2）由（1）得到函數(shù)的解析式，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，作差得到f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈N）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx-c

=-f（x），∴c=0，
由f（1）=2，得a+1=2b①由f（2）＜3，得

4a+1

2b

＜3②
由①②得

4a+1

a+1

＜3③變形可得（a+1）（a-2）＜0，
解得-1＜a＜2，又a∈Z，∴a=0或a=1，
若a=0，則b=

1

2

，與b∈Z矛盾，若a=1，則b=1，
故a=1，b=1，c=0，
∴f（x）=

x2+1

x

；
（2）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（2x₂）=

x12+1

x1

-

x22+1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁ x₂-1＜0，x₁ x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

點評：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．