Question

8．如圖，五面體ABCDE中，AB∥CD，CB⊥平面ABE，AE⊥AB，AB=AE=2，BC=$\sqrt{2}$，CD=1．
（1）求證：直線BD⊥平面ACE；
（2）求二面角D-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，利用向量法證明直線垂直，即可證明直線BD⊥平面ACE；
（2）發(fā)求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BE-C的平面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵CB⊥平面ABE，AE⊥AB，AB=AE=2，
∴建立以B為坐標原點，BA，垂直BA的直線，BC分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵BC=$\sqrt{2}$，CD=1，
∴A（2，0，0），B（0，0，0），D（1，0，$\sqrt{2}$），C（0，0，$\sqrt{2}$），E（2，2，0），
則$\overrightarrow{BD}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，$\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=-2+$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=-2+2=0，
則$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
即BD⊥AE，BD⊥AC，
∵AE∩AC=A，
∴BD⊥平面ACE；
（2）$\overrightarrow{BD}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
設平面DBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{2}z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$．令z=-1，則x=$\sqrt{2}$，y=-$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，-1），
設平面BECE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=-1，z=0，
則$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{2+2+1}}\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即二面角D-BE-C的平面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本小題主要考查先面垂直的判斷和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，綜合性較強，運算量較大．