Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，則ω=$\frac{2}{3}$或2．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和單調(diào)性，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是R上的偶函數(shù)，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx；
又f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，
∴f（$\frac{3π}{4}$）=cos（$\frac{3π}{4}$ω）=0，
即$\frac{3π}{4}$ω=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即ω=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$k，k∈Z；
又f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
∴$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，
解得0＜ω≤2；
當(dāng)k=0時(shí)，ω=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)k=1時(shí)，ω=2，
∴ω的值為$\frac{2}{3}$或2．
故答案為：$\frac{2}{3}$或2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，利用三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．