Question

已知點(diǎn)A（-1，1），若曲線G上存在兩點(diǎn)B，C，使△ABC為正三角形，則稱G為T型曲線．給定下列三條曲線：
①y=-x+3（0≤x≤3）
②y=（-≤x≤0）
③y=-（x＞0），
則T型曲線的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：曲線①，點(diǎn)在線外，求出點(diǎn)到直線的距離為，即BC邊上的高為，進(jìn)一步分析知所求正三角形的邊長(zhǎng)為，寫出以A為圓心，以為半徑的圓，和直線方程聯(lián)立求解判斷；
對(duì)于②，把給定的曲線方程變形，得到曲線曲線形狀，知點(diǎn)A在曲線上，通過分析極端情況判斷；
對(duì)于③，根據(jù)對(duì)稱性，判出如果存在B、C，則兩點(diǎn)連線的斜率以應(yīng)為1，設(shè)出B、C連線方程，根據(jù)正三角形邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，列方程求解．
解答：解：對(duì)于①，A（-1，1）到直線y=-x+3的距離為，若直線上存在兩點(diǎn)B，C，使△ABC為正三角形，則|AB|=|AC|=，，以A為圓心，以為半徑的圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=6，聯(lián)立
解得，或，后者小于0，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在曲線上，所以①不是．
對(duì)于②，化為，圖形是第二象限內(nèi)的四分之一圓弧，此時(shí)連接A點(diǎn)與圓弧和兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形頂角最小為135°，所以②不是．
對(duì)于③，根據(jù)對(duì)稱性，若上存在兩點(diǎn)B、C使A、B、C構(gòu)成正三角形，則兩點(diǎn)連線的斜率為1，設(shè)B、C所在直線方程為x-y+m=0，由題意知A到直線距離為直線被所截弦長(zhǎng)的倍，列方程解得m=-，所以曲線③是T型線．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決，同時(shí)需要注意的是每條曲線的范圍．