Question

對于給定數列，如果存在實常數使得對于任意都成立，我們稱數列是 “M類數列”．

（1）若，，，數列、是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數，若不是，請說明理由；

（2）證明：若數列是“M類數列”，則數列也是“M類數列”；

（3）若數列滿足，，為常數．求數列前項的和．并判斷是否為“M類數列”，說明理由；

（4）根據對（2）（3）問題的研究，對數列的相鄰兩項、，提出一個條件或結論與“M類數列”概念相關的真命題，并探究其逆命題的真假．

Answer 1

（1）是，（2）（3）（4）證明略

解析:

（1）因為則有

故數列是“M類數列”， 對應的實常數分別為． ……………………………2分

因為，則有  

故數列是“M類數列”， 對應的實常數分別為． ……………………………4分

（2）證明：若數列是“M類數列”， 則存在實常數，

使得對于任意都成立，

且有對于任意都成立， …………………………………………6分

因此對于任意都成立，

故數列也是“M類數列”．          …………………………………………8分

對應的實常數分別為．  ……………………………………………………………9分

（3）因為  則有，，

，       

故數列前項的和

++++

 ………………11分

若數列是“M類數列”， 則存在實常數

使得對于任意都成立，

且有對于任意都成立，

因此對于任意都成立，

而，且

則有對于任意都成立，可以得到，

（1）當時，，，，經檢驗滿足條件。

（2）當 時，，，經檢驗滿足條件。

因此當且僅當或，時，數列也是“M類數列”。 對應的實常數分別為, 或．          ………………………………………………………………14分

（4）命題一：若數列是“M類數列”，則數列也是“M類數列”．

逆命題：若數列是“M類數列”，則數列也是“M類數列”．

當且僅當數列是常數列、等比數列時，逆命題是正確的．

命題二：若數列是等比數列，則數列、、、 是“M類數列”

逆命題：若數列、、、是“M類數列” 則數列 是等比數列．逆命題是正確的．

命題三：若數列是“M類數列”， 則有或．

逆命題：若或，則數列是“M類數列”

 若，當且僅當時逆命題是正確的．

 若，當且僅當時逆命題是正確的．

（命題給出2分，逆命題寫出2分，說明逆命題真假2分）