Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

n

i=2

lni

i+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N+，n＞1)．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：f′（x）=

1

x-1

-k，當(dāng)k≤0時(shí)f′（x）=

1

x-1

-k＞0；當(dāng)k＞0時(shí)，若x∈（1，1+

1

k

）時(shí)有f′（x）=

1

x-1

-k＞0，若x∈（1+

1

k

，+∞）時(shí)有f′（x）=

1

x-1

-k＜0．進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由（I）知k≤0時(shí)，f（2）=1-k＞0，f（x）≤0不恒成立，所以k＞0．只要使y_max=f（1+

1

k

）=-lnk≤0恒成立即可，進(jìn)而求出答案．
（Ⅲ）由題可得：k=1時(shí)，有x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2在（2，+∞）上恒成立，令x-1=n²，則2lnn＜（n-1）（n+1），所以可得

lnn

n+1

＜

n-1

2

，進(jìn)而證明原不等式成立．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），并且f′（x）=

1

x-1

-k，
①當(dāng)k≤0時(shí)f′（x）=

1

x-1

-k＞0，則f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)k＞0時(shí)，若x∈（1，1+

1

k

）時(shí)有f′（x）=

1

x-1

-k＞0，若x∈（1+

1

k

，+∞）時(shí)有f′（x）=

1

x-1

-k＜0．
所以f（x）在（1，1+

1

k

）上是增函數(shù)，在（1+

1

k

，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由（I）知k≤0，時(shí)f（x）在（1，+∞）上遞增，
而f（2）=1-k＞0，f（x）≤0不恒成立，所以k＞0．
又由（I）知y_max=f（1+

1

k

）=-lnk，要使f（x）≤0恒成立，
則y_max=f（1+

1

k

）=-lnk≤0即可．
所以解得k≥1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)k=1時(shí)有f（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
且f（x）在[2，+∞）上是減函數(shù)，f（2）=0，
所以x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）≤0恒成立，
即ln（x-1）＜x-2在（2，+∞）上恒成立
令x-1=n²，則lnn²＜n²-1，即2lnn＜（n-1）（n+1），
從而

lnn

n+1

＜

n-1

2

，

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

n(n-1)

4

成立．
故

n

i=2

lni

i+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N+，n＞1)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的恒成立問題，不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，不等式的放縮，是解題的難點(diǎn)．