Question

（2007•武漢模擬）過定點(diǎn)P（1，4）作直線交拋物線C：y=2x²于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為

y=4x-4

．

Answer 1

分析：設(shè)直線AB方程為y-4=k（x-1），聯(lián)立直線方程與y=2x²得2x²-kx+k-4=0，進(jìn)而設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理表示x₁+x₂與x₁x₂，設(shè)過A、B分別作拋物線C的切線分別為L₁、L₂，結(jié)合題意表示L1、L2的方程，聯(lián)立L1、L2方程得M的坐標(biāo)，分析可得答案．

解答：解：設(shè)直線AB方程為y-4=k（x-1）；
聯(lián)立直線方程與y=2x²得：2x²-kx+k-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=

k-4

2

∵y=2x²
∴f′（x）=4x，
設(shè)過A、B分別作拋物線C的切線分別為L1、L2
則k_L1=4x₁，k_l2=4x₂
∴L1方程為y-2x₁²=4x₁（x-x₁），即y=4x₁x-2x₁²
同理，L2方程為y=4x₂x-2x₂²
聯(lián)立L1、L2方程得：
x_M=

x1+x2

2

，y_M=2x₁x₂
又x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=

k-4

2

∴x_M=

k

4

，y_M=k-4
∴y_M=4x_M-4
∴M的軌跡方程為y=4x-4；
故答案為：y=4x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，表示出直線AB的方程是解決此題的關(guān)鍵．