Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=4，a₅=10；數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）記c_n=a_n．b_n，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=1求得b1=

2

3

，當(dāng)n≥2時，由Tn=1-

1

2

bn得Tn-1=1-

1

2

bn-1，兩式作差即可證得{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：設(shè)出{a_n}的公差為d，由已知求出公差，得到等差數(shù)列的通項公式，把{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=a_n．b_n，利用錯位相減法求然后{c_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時，b₁=T₁，由T1+

1

2

b1=1，得b1=

2

3

；
當(dāng)n≥2時，∵Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
∴Tn-Tn-1=

1

2

(bn-1-bn)，即bn=

1

2

(bn-1-bn)．
∴bn=

1

3

bn-1．
∴{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：設(shè){a_n}的公差為d，則：d=

a5-a2

5-2

=

10-4

3

=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4+2（n-2）=2n．
由（1）可知：bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
c_n=a_n．b_n=2n•2•(

1

3

)n=4n•(

1

3

)n，
∴Sn=4•(

1

3

)+8•(

1

3

)2+…+4(n-1)•(

1

3

)n-1+4n•(

1

3

)n．

1

3

Sn=4•(

1

3

)2+8•(

1

3

)3+…+4(n-1)•(

1

3

)n+4n•(

1

3

)n+1．

2

3

Sn=4•[(

1

3

)+(

1

3

)2+…(

1

3

)n]-4n•(

1

3

)n+1=4•

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-4n•(

1

3

)n+1
=2-2•(

1

3

)n-4n•(

1

3

)n+1．
∴Sn=3-(

1

3

)n-1-2n•(

1

3

)n．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．