Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處取得極值-2，的f′（1）=0，f（1）=-2，可得用c表示a和b；令導(dǎo)數(shù)f′（x）=0，比較根的大小，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：依題意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x²+2ax+b，
故

1+a+b+c=-2 3+2a+b=0

解得

a=c b=-2c-3

從而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=1或x=-

2c+3

3

．
由于f（x）在x=1處取得極值，故-

2c+3

3

≠1，即c≠-3．
若-

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
則當(dāng)x∈(-∞，-

2c+3

3

)時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈(-

2c+3

3

，1)時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

2c+3

3

]，[1，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為[-

2c+3

3

，1]
若-

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
同上可得，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，1]，[-

2c+3

3

，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為[1，-

2c+3

3

]

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，體現(xiàn)方程的思想，特別討論函數(shù)的單調(diào)性，比較兩根的大小，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬難題．