Question

如圖矩形ABCD，AB=4，AD=3，

AE

=

1

4

AB

，點F是線段AD上任意一點，點G是線段CD上任意一點，則∠FEG是銳角的概率為

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統計

分析：建立坐標系，利用向量數量積的應用，建立條件關系，利用幾何槪型的概率公式即可得到結論．

解答： 解：設FA=y，GD=x，以A為坐標原點，建立直角坐標系如圖：則0≤y≤3，0≤x≤4，平面區(qū)域{（x，y）|0≤y≤3，0≤x≤4}對應的區(qū)域是長方形，
面積S=12．
則F（0，y），E（1，0），G（3，x），
則

EF

=（-1，y），

EG

=（2，x），
若∠FEG是銳角，則

EF

•

EG

=-2+xy＞0，
即xy＞2，y＞

2

x

，（0≤x≤4），
作出對應的平面區(qū)域如圖：
當y=3時，由

2

x

=3，解得x=

2

3

，P（

2

3

，3），
陰影部分的面積S=

∫

4 2 3

(3-

2

x

)dx=（3x-2lnx）|

4 2 3

=10-2ln6，
∴根據幾何概型的概率公式可得∠FEG為銳角的概率

10-2ln6

12

=

5-ln6

6

，
故答案為：

5-ln6

6

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算，利用數量積的應用，結合積分求出對應區(qū)域的面積是解決本題的關鍵，綜合性較強，涉及的知識點較多．