Question

如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值稱(chēng)為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）當(dāng)a為定值，θ變化時(shí)，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時(shí)的角θ的大小．
（3）（文）當(dāng)a為定值，θ=15⁰時(shí)，求“規(guī)劃合理度”的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x則 ，
由BP+AP=AB，得 ，故
所以
（2），
令t=sin2θ，因?yàn)?，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]
所以 ，，
所以函數(shù)g（t）在（0，1]上遞減，
因此當(dāng)t=1時(shí)g（t）有最小值 ，
此時(shí)
所以當(dāng) 時(shí)，“規(guī)劃合理度”最小，最小值為 ．
（3）θ=15⁰時(shí)，，，
所以，
分析：（1）據(jù)題知三角形ABC為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值 稱(chēng)為“規(guī)劃合理度”，可設(shè)t=sin2θ來(lái)化簡(jiǎn)求出S₁與S₂的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值即可求出此時(shí)的θ．
（3）將θ=15°代入兩面積的函數(shù)解析式，然后求出兩面積的比值即可得到“規(guī)劃合理度”的值．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力，以及在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的能力，屬于中檔題．