Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足:對任意都有，且當(dāng)x>0時(shí)，．

（1）求的值，并證明為奇函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；

（3）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；證明詳見解析（2）是增函數(shù)，證明詳見解析；（3）.

【解析】

（1）用賦值法，結(jié)合奇函數(shù)的定義進(jìn)行求解證明即可；

（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，結(jié)合已知進(jìn)行判斷證明即可；

（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法、換元法、構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行求解即可.

（1） 令 ，得 ，

所以 ．

證明：令 ，得 ，

所以，

所以為奇函數(shù)；

（2）設(shè)x2>x1，所以.

由，

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，，所以，

∴是增函數(shù)；

（3） 由題知：，

又 是定義在上的增函數(shù)，

所以 對任意 恒成立，

所以 ，

所以 ，

令 ，，則 ，

所以 ，

當(dāng) 時(shí)，，

所以 ．