Question

（2012•唐山二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為

2

+1的線段的兩端點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，

CP

=

2

PD

．記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程；
（II）經(jīng)過點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，

OM

=

OA

+

OB

，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求四邊形OAMB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y）．由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），由|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OM

=

OA

+

OB

，知點(diǎn)M坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂）．設(shè)直線l的方程為y=kx+1．代入曲線E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此能求出平行四邊形OAMB的面積．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴

x-m=- 2 x y= 2 (n-y)

．（2分）
由|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

( 2 +1)2

2

y²=（

2

+1）²，
整理，得曲線E的方程為x²+

y2

2

=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

，知點(diǎn)M坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂）．
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入曲線E方程，得
（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

，…（7分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由點(diǎn)M在曲線E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2 )2

2

=1，
即

4k2

(k2+2)2

+

8

(k2+2)2

=1，解得k²=2．…（9分）
這時(shí)|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

3(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2

2

，
原點(diǎn)到直線l的距離d=

1

1+k2

=

3

3

，
平行四邊形OAMB的面積S=|AB|•d=

6

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查四邊形面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．