Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點P（2，0），且在點P處有相同的切線．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在區(qū)間[-3，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求實數(shù)a，b，c的值，只須求出切線斜率的值，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用斜率相等及都過點P列出等量關(guān)系，從而問題解決．
（II）欲求F（x）在區(qū)間[-3，0]上的最大值和最小值，利用導(dǎo)數(shù)來解決．研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最值即可．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx，..（2分）
根據(jù)題意有..（4分）
解得a=-8，b=4，c=-16..（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16．
則F（x）=2x³+4x²-8x-16..（7分）F'（x）=6x²+8x-8（8分）
令F'（x）＞0，即6x²+8x-8＞0，解得x＜-2或；
令F'（x）＜0，即6x²+8x-8＜0，解得-2＜（11分）
當(dāng)x在[-3，0]內(nèi)變化時，F(xiàn)'（x）與F（x）的變化情況如下：
當(dāng)x=0時F（x）有最小值-16；當(dāng)x=-2時F（x）有最大值0（13分）
點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．