Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，3a_n+1+4S_n=3（n為正整數(shù)）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S=a₁+a₂+…+a_n+…，若對任意正整數(shù)n，kS＜S_n恒成立，求k的取值范圍？
（3）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a為首項，a為公比的等比數(shù)列前n項和記為T_n，問是否存在實數(shù)a使得對于任意的n∈N^*，均有T_n∈A．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）3a_n+1+4s_n=3，3a_n+4s_n-1=3，兩式相減，得3a_n+1-3a_n+4（S_n-S_n-1）=0，由此能求出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）將k進(jìn)行分離，然后討論n的奇偶，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可求函數(shù)的最值，由此能求出k的最大值．
（3）討論a與1的大小，求出集合A，當(dāng)a≥1時，T₂=a+a²，T₂∈A，可求出a，當(dāng)0＜a＜1時求出T_n的范圍，對任意的n∈N^*，要使T_n∈A，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即可．
解答：解：（1）由題意知，當(dāng)n≥2時，兩式相減變形得：
又n=1時，，于是  …（1分）
故 {a_n}是以a₁=1為首項，公比的等比數(shù)列∴…（4分）
（2）由得 =f（n）…（5分）
當(dāng)n是偶數(shù)時，f（n）是n的增函數(shù)，于是，故…（7分）
當(dāng)n是奇數(shù)時，f（n）是n的減函數(shù)，因為，故k≤1．…（9分）
綜上所述，k的取值范圍是…（10分）
（3）①當(dāng)a≥1時，A={x|1≤x≤a}，T₂=a+a²，若T₂∈A，則1≤a+a²≤a．得
此不等式組的解集為空集．
即當(dāng)a≥1時，不存在滿足條件的實數(shù)a．…（13分）
②當(dāng)0＜a＜1時，A={x|a≤x≤1}．
而是關(guān)于n的增函數(shù)．
且．…（15分）
因此對任意的n∈N^*，要使T_n∈A，只需解得．…（18分）
點評：本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意不等式和數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．