Question

20．四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為$\frac{9π}{2}$的同一球面上，則PA的長(zhǎng)為（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)E，則E是AC中點(diǎn)，取PC中點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出O是該四棱錐的外接的球心，可得球半徑，由四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為$\frac{9π}{2}$，建立方程求出PA即可．

解答 解：連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥PA，所以O(shè)E⊥底面ABCD，則O到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即O球心，均為$\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^{2}+8}$，
所以由球的體積可得$\frac{4}{3}π•（\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^{2}+8}）^{3}$=$\frac{9π}{2}$，解得PA=1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的外接球的體積，考查勾股定理的運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．