Question

設(shè){a_n}是正項數(shù)列，它的前n項和S_n滿足：4S_n=（a_n-1）•（a_n+3），則a₁₀₀₅=________．

Answer 1

2011
分析：把數(shù)列仿寫一個，兩式相減，合并同類型，用平方差分解因式，約分后得到數(shù)列相鄰兩項之差為定值，得到數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，取n=1代入4S_n=（a_n-1）（a_n+3）得到首項的值，寫出通項公式．從而得到a₁₀₀₅．
解答：∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
∴4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），
兩式相減得整理得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，
∵{a_n}是正項數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
令n=1得a₁=3，
∴a_n=2n+1，
∴a₁₀₀₅=2×1005+1=2011．
故答案為：2011．
點評：本題考查數(shù)列的遞推式，解題時要注意數(shù)列通項公式的求解方法，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．