Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sin（2x+φ）+1（0＜φ＜π），且g（x）=f（x）-1是偶函數(shù)．
（1）求φ的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若tanx=

3

，求f（x）的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知化簡得sin（-2x+φ）=sin（2x+φ），即（-2x+φ）+（2x+φ）=π+2kπ（k∈Z），解之得φ=

π

2

+kπ（k∈Z），由0＜φ＜π，取k=0，得φ=

π

2

，可得f（x）=

1

2

cos2x+1．由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可得：kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z．
（2）由tanx=

3

，可得f（x）=

1

2

cos2x+1=

1

2

（

1-tan2x

1+tan2x

）+1=

1

2

×

(-2)

4

+1=

3

4

．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

sin（2x+φ）+1，且g（x）=f（x）-1是偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），即

1

2

sin（-2x+φ）=

1

2

sin（2x+φ）對任意x∈R恒成立，
化簡得sin（-2x+φ）=sin（2x+φ），
即（-2x+φ）+（2x+φ）=π+2kπ（k∈Z），解之得φ=

π

2

+kπ（k∈Z），
∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=

π

2

；
∴f（x）=

1

2

sin（2x+

π

2

）+1=

1

2

cos2x+1．
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可得：kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．
（2）∵tanx=

3

，
∴f（x）=

1

2

cos2x+1=

1

2

（

1-tan2x

1+tan2x

）+1=

1

2

×

(-2)

4

+1=

3

4

．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)的化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．