Question

20、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，又PA=PD，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）在PA上是否存在一點(diǎn)M，使ME∥平面PDC？

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE，由PA=PD，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得OP⊥AD，又由矩形中位線的性質(zhì)，可得OE⊥AD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AD⊥平面OPE，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到AD⊥PE；
（2）PA的中點(diǎn)M，連接ME，MO，根據(jù)三角形中線定理，我們可得OM∥PD，又由OE∥DC，結(jié)合面面平行的判定定理，可得平面OEM∥平面PDC，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)，得到結(jié)論．

解答：解：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
又E是BC的中點(diǎn)，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，
又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，而PE?平面OPE，
∴AD⊥PE．  
（2）存在點(diǎn)M，取PA的中點(diǎn)M，
連接ME，MO，易知：OM∥PD，又由OE∥DC，
知：平面OEM∥平面PDC．
故在PA上是否存在點(diǎn)M（M為PA的中點(diǎn)），使ME∥平面PDC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)瞇是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，熟練掌握空間直線與平面平行、垂直的判定定理，性質(zhì)定理，定義及相互的轉(zhuǎn)化，是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．