Question

（本小題滿分12分）  

 設(shè)，   ．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；

（3）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）4

（3）

【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

，，

所以曲線在處的切線方程為；          2分

（2）存在，使得成立

等價(jià)于：，

考察，，

		遞減	極（最）小值	遞增

   

 

 

 

 

由上表可知：，

，

所以滿足條件的最大整數(shù)；                         6分

（3）對(duì)任意的，都有成立

等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，

        由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。

，下證當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。

當(dāng)且時(shí)，，

記，，  

當(dāng)，；當(dāng)，

，

所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

，即，    

所以當(dāng)且時(shí)，成立，

即對(duì)任意，都有。                 12分

 （3）另解：當(dāng)時(shí)，恒成立

等價(jià)于恒成立，

記，，   。

記，，由于，

,   所以在上遞減，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以