Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）為偶函數(shù)．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)f（x）的值最�。坎⑶蟪鰂（x）的最小值；
（3）設(shè)（a≠0），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用偶函數(shù)的定義即f（-x）=f（x）對(duì)所有x∈R都成立，代入整理即可求常數(shù)k的值；
（2）先利用（1）的結(jié)論對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式求出真數(shù)的取值范圍，代入原函數(shù)即可求出f（x）的最小值；
（3）把兩方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)方程只有一個(gè)根時(shí)滿足的條件即可．（注意本題涉及到對(duì)數(shù)形式，須滿足真數(shù)大于0這一條件）．
解答：解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
故log₄（4^-x+1）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-（k-1）x對(duì)所有x∈R都成立，（2分）
即（2k-3）x=0對(duì)所有x∈R都成立，
∴．（4分）
（2）由（1）得，即．（2分）
，
故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，（3分）
f（x）的最小值是．（5分）
（3）由方程（*）
可變形為，由②得或，
令2^x=t，則，或
由①得，設(shè)（2分）
∴當(dāng)a＞0時(shí)，，（4分）
當(dāng)a＜0時(shí)，h（0）=-1＜0，
∴不存在，
當(dāng)時(shí)，或a=-3，
若，則t=-2，不合題意，舍去，若a=-3，則，滿足題意，（5分）
∴當(dāng)a=-3或a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題．其中涉及到對(duì)數(shù)形式，在做題時(shí)一定要注意須滿足真數(shù)大于0這一條件，這是易錯(cuò)點(diǎn)．