分析:(I)由已知中
an=2an-1+2n-1(n≥2),bn=,化簡可得b
n-b
n-1=1,進而根據等差數列的定義可得結論
(II)由(I)求出數列{a
n}的通項公式,進而利用錯位相減法,可得答案.
(III)結合(I)的結論,求出數列{c
n}的通項公式,進而利用裂項相消法,求出數列{c
n}的前n項和T
n,進而求出m的值,
解答:解:(Ⅰ)證明:∵
bn====
+1=bn-1+1(n≥2),
∴b
n-b
n-1=1(n≥2),
∴{b
n}是公差為1,首項為
b1==2的等差數列…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知b
n=2+(n-1)•1=n+1,
即
=n+1,
∴
an=(n+1)2n+1,
∴
Sn=[2•2+3•22+4•23+…+(n+1)2n]+n,…(6分)
令
Tn=2•2+3•22+…+n•2n-1+(n+1)2n,
∴
2Tn=2•22+…+n•2n+(n+1)2n+1,
∴
-Tn=2•2+1•22+…+1•2n-(n+1)2n+1=
4+-(n+1)2n+1=4+2
n+1-4-n•2
n+1-2
n+1=-n•2
n+1,
∴
Tn=n•2n+1,∴
Sn=n•2n+1+n.…(9分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
Tn=9(++…+)=
9(-+-+…+-)=9(-)…(12分)
∴
Tn≥,
依題意有
>(m2-5m),
解得-1<m<6,
故所求最大正整數m的值為5…(14分)
點評:本題考查的知識點是數列求和,數列的應用及等差關系的確定,其中(I)的關鍵是熟練掌握定義法求證等差數列的步驟,(II)(III)的關鍵是熟練掌握錯位相減法和裂項相消法的適用范圍及方法步驟.