證明：f（x）=x+
1
x-2
在（3，+∞）上是增函數(shù)，在（2，3]上是減函數(shù)．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．
解答： 證明：設任意的x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，則
f（x1）-f（x2）=(x1+
1
x1-2
)-(x2-
1
x2+2
)=（x1-x2）•
(x1-2)(x2-2)-1
(x1-2)(x2-2)

∵x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1-2＞1，x2-2＞1，（x1-2）（x2-2）＞1，
∴（x1-x2）•
(x1-2)(x2-2)-1
(x1-2)(x2-2)
＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）=x+
1
x-2
在（3，+∞）上是增函數(shù)．
同理可證，f（x）=x+
1
x-2
在（2，3]上是減函數(shù)．
點評：本題主要考查學生運用定義證明函數(shù)單調(diào)性的能力，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題P：復數(shù)z=
1+i
i
在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限；命題q：?x＞0，x=cosx，則下列命題中為真命題的是（　�。�
A、（￢p）∧（￢q）
B、（￢p）∧q
C、p∧（￢q）
D、p∧q

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的最小距離為
3
-1，離心率e=
3
3
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l：y=x+m交E于P、Q兩點，點M（1，0），問是否存在m，使
MP
⊥
MQ
？若存在求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，左、右頂點分別為A，B，過點F且傾斜角為
π
4
的直線l交橢圓于C，D兩點，橢圓C的離心率為
3
2
，
AC
•
AD
-
BC
•
BD
=-
32
3
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P1，P2是橢圓上不同兩點，P1，P2⊥x軸，圓R過點P1，P2，且橢圓上任意一點都不在圓R內(nèi)，則稱圓R為該橢圓的內(nèi)切圓．問橢圓C是否存在過點F的內(nèi)切圓？若存在，求出點R的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn是{an}中從第2n-1項開始的連續(xù)2n-1項的和，即：
S1=a1，
S2=a2+a3，
S3=a4+a5+a6+a7，
…
Sn=a 2n-1+a 2n-1+1+…+a 2n-1，
…
（1）當a1=3，d=2時，求S4
（2）若S1，S2，S3成等比數(shù)列，問：數(shù)列{Sn}是否成等比數(shù)列？請說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，的前n項和為Sn，且a2=2，S5=15，數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=
n+1
2n
bn．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）記Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，f（n）=
2Sn(2-Tn)
n+2
，試問f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，點p是單位圓上位于第一象限的動點，過p作x軸的垂線與射線y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜
π
2
）交于點Q，與x軸交于點M，射線與單位圓交于N，設∠MOP=α，且α∈（0，θ）
（1）若θ=
π
3
，sinα=
3
5
，求cos∠POQ；
（2）若θ=
π
4
，求四邊形OMPN面積的最大值，
（3）并求取最大值時的α值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
sinα-cosα
sinα+cosα
=3，則tan2α等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
x-1
的定義域為A，函數(shù)y=lg（2-x）的定義域為B，則A∩B=
 
．

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