已知集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*),若集合,且對任意的b∈M,存在ai,aj∈A(1≤i≤j≤m),使得b=λ1ai2aj(其中λ1,λ2{﹣1,0,1}),則稱集合A為集合M的一個m元基底.
(Ⅰ)分別判斷下列集合A是否為集合M的一個二元基底,并說明理由;
①A={1,5}M={1,2,3,4,5};
②A={2,3},M={1,2,3,4,5,6}.
(Ⅱ)若集合A是集合M的一個m元基底,證明:m(m+1)≥n;
(III)若集合A為集合M={1,2,3,…,19}的一個m元基底,求出m的最小可能值,并寫出當(dāng)m取最小值時M的一個基底A.
解:(Ⅰ)①A={1,5}不是M={1,2,3,4,5}的一個二元基底.
理由是3≠λ1×1+λ2×5;
②A={2,3}是M={1,2,3,4,5}的一個二元基底.
理由是 1=﹣1×2+1×3,2=1×2+0×3,3=0×2+1×3,
4=1×2+1×2,5=1×2+1×3,6=1×3+1×3.          
(Ⅱ)不妨設(shè)a1<a2<a3<…<am,則形如1×ai+0×aj(1≤i≤j≤m)的正整數(shù)共有m個;
形如1×ai+1×ai(1≤i≤m)的正整數(shù)共有m個;
形如1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整數(shù)至多有 個;
形如﹣1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整數(shù)至多有 個.
又集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*),
含n個不同的正整數(shù),A為集合M的一個m元基底.
故m+m+ + ≥n,即m(m+1)≥n
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知m(m+1)≥19,所以m≥4.
當(dāng)m=4時,m(m+1)﹣19=1,
即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個…*
假設(shè)A=a1,a2,a3,,a4為M={1,2,3,…,19}的一個4元基底,
不妨設(shè)a1<a2<a3<a4,則a4≥10.
當(dāng)a4=10時,有a3=9,這時a2=8或7.
如果a2=8,則由1=10﹣9,1=9﹣8,18=9+9,18=10+8,這與結(jié)論*矛盾.
如果a2=7,則a1=6或5.
易知A={6,7,9,10}和A={5,7,9,10}都不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.當(dāng)a4=11時,有a3=8,這時a2=7,a1=6,
易知A={6,7,8,11}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
當(dāng)a4=12時,有a3=7,這時a2=6,a1=5,
易知A={5,6,7,12}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
當(dāng)a4=13時,有a3=6,a2=5,a1=4,
易知A={4,5,6,13}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
當(dāng)a4=14時,有a3=5,a2=4,a1=3,
易知A={3,4,5,14}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
當(dāng)a4=15時,有a3=4,a2=3,a1=2,
易知A={2,3,4,15}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
當(dāng)a4=16時,有a3=3,a2=2,a1=1,
易知A={1,2,3,16}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.
當(dāng)a4≥17時,A均不可能是M的4元基底.
當(dāng)m=5時,M的一個基底A={1,3,5,9,16}.
綜上所述,m的最小可能值為5.
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