Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=6，CD=4，梯形ABCD的面積是5

7

．若分別以A、B為橢圓E的左右焦點(diǎn)，且C、D在橢圓E上．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，那么是否存在直線l，使B點(diǎn)恰為△PQM的垂心？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由梯形ABCD的面積是5

7

可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，

7

)由2a=|AC|+|CB|=

(2+3)2+( 7 )2

+ 

(2-3)2+ 7 2

=6

2

可求2a，2c，進(jìn)而可求橢圓的方程
（2）解：假設(shè)存在直線l與橢圓E相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且B點(diǎn)恰為△PQM垂心．由K_MB=-1，可得K_PQ=1，故設(shè)直線l的方程為y=x+m
聯(lián)立

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

得3x²+4mx+2m²-18=0由

MP

•

BQ

=0可得x₁（x₂-3）+y₂（y₁-3）=0，從而可求m的值

解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
在等腰梯形ABCD中，AB=6，CD=4，梯形ABCD的面積是5

7

∴

1

2

(6+4)•yC=5

7

，即yC=

7

，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，

7

)，
又A（-3，0）、B（3，0）
∴2a=|AC|+|CB|=

(2+3)2+( 7 )2

+ 

(2-3)2+ 7 2

=6

2

2c=|AB|=6∴a=3

2

，c=3，∴b=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

18

+

y2

9

=1
（2）解：假設(shè)存在直線l與橢圓E相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且B點(diǎn)恰為△PQM垂心．
∵M(jìn)（0，3），B（3，0），
∴K_MB=-1，∴K_PQ=1，故設(shè)直線l的方程為y=x+m
由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

得3x²+4mx+2m²-18=0
△=16m²-4×3（2m²-18）＞0
∴-3

3

＜m＜3

3

∴x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-18

3

∵

MP

•

BQ

=0
∴x₁（x₂-3）+y₂（y₁-3）=0

∴x1(x2-3)+(x2+m)(x1+m-3)=0， 2x1x2+(x1+x2)(m-3)+m2-3m=0 ∴2× 2m2-18 3 - 4m 3 (m-3)+m2-3m=0

故m²+m-12=0
∴m=-4或3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3不合題意，舍去
∴存在直線l：y=x-4，使得B點(diǎn)恰為△PQM的垂心

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的處理，常見的處理方法是聯(lián)立方程，根據(jù)方程的性質(zhì)求解，屬于綜合性試題．