Question

某廠家研發(fā)甲、乙兩種產(chǎn)品準備試產(chǎn)，經(jīng)調研，生產(chǎn)甲產(chǎn)品需固定成本100萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加1萬元，每件銷售價格p（萬元/件）與產(chǎn)量x（件）滿足關系p=25-

1

8

x；乙產(chǎn)品的利潤L（萬元）與成本t（萬元）的關系為L=

0，0≤t≤4 80lnt，4＜t≤100.

現(xiàn)有資金200萬元，所生產(chǎn)的產(chǎn)品都能銷售出去，并且甲產(chǎn)品必須生產(chǎn)．
（I）要使甲產(chǎn)品的利潤最大，應生產(chǎn)甲產(chǎn)品多少件；
（Ⅱ）若資金全部投入生產(chǎn)，如何分配對甲、乙的投資，能使廠家獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件的利潤表達式，再利用函數(shù)的單調性即可得出；
（Ⅱ）先得出廠家獲得利潤的函數(shù)表達式，再利用導數(shù)和二次函數(shù)得出函數(shù)的單調性即可得出最大值．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）表示生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件的利潤，則f（x）=px-100-x=（25-

1

8

x）x-100-x=-

1

8

x2+24x-100=-

1

8

(x-96)2+1052，x必須滿足

x＞0 100+x≤200

解得0＜x≤100．
∴x∈（0，100]，因此當x=96時，f（x）取得最大值，f（96）=1052．
（Ⅱ）設200萬元資金中的x萬元用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品，則（200-x）萬元用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品（至多只生產(chǎn)甲產(chǎn)品200-x-100=100-x件，∵甲產(chǎn)品必須生產(chǎn)，∴0≤x＜100）．
設g（x）表示廠家獲得的利潤，則g（x）=

- 1 8 (x-4)2+1052，當0≤x≤4時 80lnt- 1 8 (x-4)2+1052，當4＜x＜100時

，
①當0≤x≤4時，g（x）單調遞增，∴x=4，g（x）取得最大值g（4）=1052；
②當4＜x＜100時，g（x）=80lnx-

1

8

(x-4)2+1052，則g′(x)=

80

x

-

1

4

(x-4)=

-(x-20)(x+16)

4x

，
令g^′（x）=0，解得x=20．
當4＜x＜20時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（4，20）上單調遞增；當20＜x＜100時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（4，20）上單調遞減．
∴g（x）在x=20取得最大值，且g（20）=80ln20+1020．
∵g（20）-g（4）=80ln20-32＞80-32＞0，
∴當x=20時，能使廠家獲得的利潤最大．即把20萬元用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品，把180萬元用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品，能使廠家獲得最大利潤為80ln20+1020萬元．

點評：正確列出函數(shù)的表達式，熟練掌握二次函數(shù)的單調性和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解題的關鍵．