Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條定長(zhǎng)為m的線(xiàn)段其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M滿(mǎn)足

AM

=λ

MB

（λ是大于0的常數(shù)）．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)；
（Ⅱ）若λ=2，已知直線(xiàn)l與原點(diǎn)O的距離為

m

2

，且直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡有公共點(diǎn)，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用消參法求軌跡方程，先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知

AM

=λ

MB

，轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程，再消掉參數(shù)，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程，再根據(jù)方程中參數(shù)λ的范圍，判斷是什么曲線(xiàn)．
（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l的方程，利用直線(xiàn)l與原點(diǎn)O的距離為

m

2

，求出方程中k，b的關(guān)系，再根據(jù)直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡有公共點(diǎn)，即可求出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，b）
則，

AM

=（x-a，y），

MB

=（-x，b-y），
∵

AM

=λ

MB

，∴（x-a，y）=λ（-x，b-y），
∴x-a=-λx，y=λ（b-y）
∴a=λx+x，b=

λy+y

λ

∵線(xiàn)段AB長(zhǎng)為m，∴a²+b²=m²
∴(λx+x)2+(

λy+y

λ

)2=m2
化簡(jiǎn)，得，(λ+1)2x2+(1+

1

λ

)2y2=m2
當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為

2 m

2

的圓，
當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓．
（Ⅱ）當(dāng)λ=2時(shí)，點(diǎn)M的方程可化為x2+

y2

4

=

m2

9

當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為y=kx+b，
∵線(xiàn)l與原點(diǎn)O的距離為

m

2

，∴

|b|

k2+1

=

m

2

|b|=

m

2

k2+1

，b=±

m

2

k2+1

，
∴直線(xiàn)方程為y=kx±

m

2

k2+1

由

y=kx+ m 2 k2+1 x2+ y2 4 = m2 9

得，（1+

k2

4

）x²+

km k2+1 x

4

+

m2k2+m2

16

-

m2

9

=0
∵直線(xiàn)l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡有公共點(diǎn)，∴方程組

y=kx+ m 2 k2+1 x2+ y2 4 = m2 9

有解
即方程（1+

k2

4

）x²+

km k2+1 x

4

+

m2k2+m2

16

-

m2

9

=0有解
∴△=(

km k2+1

4

)2-4（1+

k2

4

）（

m2k2+m2

16

-

m2

9

）≥0
化簡(jiǎn)得，m²≥5，m≥5或m≤-5
當(dāng)y=kx-

m

2

k2+1

時(shí)，同樣有m≥5或m≤-5成立
當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)．
直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍為（-∞，-

5

]∪[

5

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了消參法求軌跡方程，以及直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的判斷．