Question

已知x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)．求：
（I）實(shí)數(shù)a的值；  
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)f′（x），再由x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=

a

x+1

+2x-10
所以f′（3）=

a

4

+6-10=0
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=

2(x2-4x+3)

x+1

當(dāng)x∈（-1，1）∪（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，3）

點(diǎn)評：本題主要考查利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是弄清函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．