Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的前5項和為105，且a₁₀=2a₅，對任意m∈N^*，將數(shù)列{a_n}中不大于7^2m的項的個數(shù)記為b_m．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由前5項和為105，且a₁₀=2a₅，可得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=105}\\{{a}_{1}+9d=2（{a}_{1}+4d）}\end{array}\right.$，解出可得a_n．對m∈N^*，a_n≤7^2m，即可得出b_m．
（2）c_n=a_n•b_n=n•49ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵前5項和為105，且a₁₀=2a₅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=105}\\{{a}_{1}+9d=2（{a}_{1}+4d）}\end{array}\right.$，解得a₁=d=7．
∴a_n=7+7（n-1）=7n．
對m∈N^*，a_n=7n≤7^2m，
則n≤7^2m-1，
b_m=7^2m-1．
（2）c_n=a_n•b_n=7n•7^2n-1=n•49ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=49+2×49²+3×49³+…+n•49ⁿ，
49S_n=49²+2×49³+…+（n-1）•49ⁿ+n•49ⁿ⁺¹，
∴-48S_n=49+49²+…+49ⁿ-+n•49ⁿ⁺¹=$\frac{49（4{9}^{n}-1）}{49-1}$-n•49ⁿ⁺¹=$\frac{1-48n}{48}•4{9}^{n+1}$-$\frac{49}{48}$，
∴S_n=$\frac{48n-1}{4{8}^{2}}•4{9}^{n+1}$+$\frac{49}{4{8}^{2}}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．